「アインシュタイン」とその偉大な数学的謎を発見する

それらは、有名な物理学者にちなんでアインシュタインとして知られていますが、ドイツ語で 1 つの石を意味する表現「アイン シュタイン」の言葉遊びとして知られています。 ただし、この場合は、隙間を残さずにサーフェスを覆うことができる閉じた形状を指す、1 つのタイルとして翻訳する方が適切です。 一言で言えばテッセラですが、数学上の大きな謎の 1 つを解決するユニークな特性を備えています。

アインシュタイン型のテッセラまたはタイルは、非周期的であるという事実によって特徴付けられます。つまり、モザイクとして一緒に配置すると、無限の平面全体を覆うことができますが、同時に、繰り返しパターンを形成することはありません。いかなる対称性も識別できないということです。 どのようにモザイクを分割しても、各セクションはユニークであり、他のセクションのパターンを繰り返すものはありません。 アインシュタインは無理数に相当するモザイクです。

この設計は信じられない、または不可能に思えます。なぜなら、無限の拡張では、どんなに小さくても 2 つの領域またはセクションが同じテッセレーション レイアウトで共存できないとは想像しにくいからです。 実際、数学者たちは半世紀以上にわたり、それが可能であると疑っていました。 そして、2023 年 3 月に、とらえどころのないアインシュタイン「帽子」の発見が確認されました。

一般に公開されるとすぐに、この帽子はさまざまなアーティストやクリエイターによってデザインのモチーフとして採用され、その中には実際のゲーム自体をモチーフにしたものもあります。 たとえば、アメリカの芸術家で数学者のロバート・ファタウアーが作成したこの構図では、シャツと帽子が何枚あるかを特定する必要があります。

このモザイクでは、帽子がカメに変身しています。課題は、映っているもう 1 つのカメ、つまり頭を左に向けているカメを特定することです。

このタイプの形状の存在または非存在の問題は、中国の数学者ハオ・ワンがいわゆる「ワンの予想」を定式化した 1961 年に始まりました。その中で彼は、空間をカバーできる形状またはテッセレーションのセットは存在すると示唆しました。全体として、周期的なテッセレーションも可能になります。 しかし、この予想はわずか 5 年後の 1966 年に、数学者のロバート バーガーによって反証されました。彼はまた、最初の非周期部分のセット、つまり非周期性を証明できる 20,426 個のタイル形状の「モンスター」を特定しました。

その瞬間から、多くの数学者は、さらに小さな形状の集合を発見することに着手しました。 この探求は、1974 年に優秀な物理学者で数学者のロジャー ペンローズによって先頭に立ち、彼は「凧」と「ダーツ」と名付けられた 2 つの非常に単純な形状に基づいたエレガントな解決策を提示しました。

物理学者で数学者のロジャー・ペンローズは、「凧」と「ダーツ」と名付けられた 2 つの非常に単純な形状に基づいたエレガントな解決策を提示しました。 クレジット: 独自のデザイン

それ以来、継続的な努力にもかかわらず、形状の数を最小限に抑えることに成功した人は誰もいませんでした。 つまり、周期性を持たずに無限の表面をテッセレーションできる単一のデザインを見つけることです。

このゲームの目的は、付属のピースを組み合わせて各ボードを埋めることです。

運命のいたずらで、数か月前の 2022 年 11 月、イギリスの元数学愛好家であるデビッド スミスは、このとらえどころのないパズルを解くことに成功しました。 まず、さまざまな形を設計して組み立てることができるコンピューター プログラムで遊んだことです。 そして、有望なデザインを見つけると、紙にいくつかの部分を切り取って実験しました。 このようにして、あたかも子供のゲームをしているかのように、彼は「帽子」を発見しました。それは、アインシュタインの要件を満たしながらも、驚くほど単純な 13 角形です。 というか、最初のアインシュタインになることだ。 この性質は、スミスが発見に気付いたときに頼ったコンピューター科学者のクレイグ・カプランによって、他の数学者と協力して、数学界に革命をもたらした論文で証明されたばかりである。 発見されたデザインはユニークなものではなく、元の帽子の形の側面の比率とサイズを変更することによって得られる一連のアインシュタインの最初のものにすぎないため、なおさらです。